Définition :
On dit que \(F\) est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel \(E\) si \(F\) est un sous ensemble non vide de \(E\) qui est stable par \(+\) et par la multiplication par un scalaire
(Ensemble vide)
Caractérisation
Proposition :
\(F\) est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel \(E\) si les conditions suivantes sont respectées :
Un sous-espace vectoriel constitue lui-même un Espace vectoriel Famille liée Famille libre - Famille linéairement indépendante Base
Exercice : ^[indiquer si \(F=\left\{\begin{pmatrix}0&a\\ -a&0\end{pmatrix}:a\in\Bbb R\right\}\) est un sous-espace de \(E=\operatorname{Mat}_{2\times2}(\Bbb R)\)
$$\begin{align}&0_E=\begin{pmatrix}0&0\\ 0&0\end{pmatrix}\\ &\text{avec }a=0,\text{ on a bien }0_E\in F\\ &\text{calculons }\lambda u+\mu v\text{ avec }u=\begin{pmatrix}0&a_1\\ -a_1&0\end{pmatrix}\text{ et }\begin{pmatrix}0&a_2\\ -a_2&0\end{pmatrix}:\\ &\lambda u+\mu v=\begin{pmatrix}0&\lambda a_1+\mu a_2\\ -\lambda a_1-\mu a_2&0\end{pmatrix}\in F\text{ si }a=\lambda a_1+\mu a_2\\ &\text{donc }F\text{ est bien un sous-espace vectoriel de }E\end{align}$$] Opération élémentaire sur une liste de vecteurs Somme de sous-espace
L'Intersection de deux sous-espaces vectoriels est aussi un sous-espace vectoriel